સરવાળો sumlimits_{k = 1}^{20} {frac{k}{{{2^k} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{20}}{{{2^{20}}}}$

Vedclass · Accepted Answer

$2 - \frac{{11}}{{{2^{19}}}}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{20}}{{{2^{20}}}}$બંને બાજુ $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{19}}{{{2^{20}}}} + \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \left( \frac{2-1}{{{2^2}}} \right) + \left( \frac{3-2}{{{2^3}}} \right) + \dots + \left( \frac{20-19}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$કૌંસમાં રહેલ પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં $a = \frac{1}{2}$,$r = \frac{1}{2}$,અને $n = 20$:સરવાળો $= \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^{20})}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}$તેથી,$\frac{1}{2}S = 1 - \frac{1}{{{2^{20}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

સરવાળો $\sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ભૌમિતિક શ્રેણીમાં રહેલી $3$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $38$ છે અને તેમનો ગુણાકાર $1728$ છે. તો વચ્ચેની સંખ્યા કઈ છે?

ધારો કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં છે. જો $a < b < c$ અને $a + b + c = \frac{3}{2}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$ ની કિંમત શોધો.

એક $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) નો સરવાળો $364$ છે, સામાન્ય ગુણોત્તર $3$ છે અને છેલ્લું પદ $243$ છે, તો પદોની સંખ્યા શોધો.

ભૌમિતિક શ્રેણી $a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots \infty$ નો સરવાળો $7$ છે અને $r$ ના એકી ઘાતાંક ધરાવતા પદોનો સરવાળો $3$ છે,તો $(a^2 - r^2)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module